5.4.1 Materialverbrauch von Blechdosen

Ein mögliches Beispiel ist die Optimierung des Höhen-/Breitenverhältnisses von Blechdosen.

Beim Verpacken von irgendwelchen Produkten ist der Materialverbrauch ein wesentlicher Kostenfaktor.

Es ist also interessant, in welcher Form ein bestimmtes Produkt möglichst billig verpackt werden kann.

Wenn das Produkt bereits eine vorgegebene Form hat (Buch, Drucker, Kondome), dann muß die Form der Verpackung zwangsläufig der Form des Produkts folgen.

Ist dagegen die Form des Produkts nicht vorgegeben, sondern nur die gewünschte Verpackungsmenge (Tomatenmark, Sauerkraut), dann läßt sich der Materialverbrauch optimieren, indem die Form geschickt gewählt wird.

Im folgenden soll nun versucht werden, 850ml Tomatenmark optimal zu verpacken.

Optimal heißt in diesem Zusammenhang: billig, also mit minimalem Materialaufwand.

Den kleinstmöglichen Materialaufwand efordert bekanntlich eine Kugel. Aus praktischen Gründen (Aufwand bei der Fertigung, Schwierigkeiten beim restluftfreien Befüllen, Sauerei beim Öffnen, instabile Lage auf einem leicht schrägen Tisch beim Zelten) wird hiervon üblicherweise Abstand genommen.

Einfacher zu fertigen (und praktischer zu verwenden) ist eine zylinderförmige Verpackung: unten und oben je ein ebener kreisförmiger Deckel; dazwischen ein zu einem Zylinder gelöteter Blechstreifen.

Aus einem gegebenen Durchmesser $d$ des Zylinders und der Dosenhöhe $h$ kann man mit der Formel leicht das Volumen $V_{\mbox{\scriptsize Zyl}}$ berechnen:

$$V_{\mbox{\scriptsize Zyl}} = \frac{d^{2} \pi}{4 }h$$ (5.1)

Jetzt ist aber das Volumen $V_{\mbox{\scriptsize Zyl}}$ schon vorgegeben, weil die Verpackungsgrößen EU-weit in bestimmten Stufen genormt sind, und davon die 850ml-Variante gefordert ist.

Es bleibt also noch, $d$ und $h$ so zu wählen, daß einerseits das geforderte Volumen erreicht wird:

$$V_{\mbox{\scriptsize Zyl}} = 850 \mbox{cm}^{3}$$ (5.2)

Andererseits soll der Blechverbrauch, also die Oberfläche $A_{\mbox{\scriptsize Zyl}}$ (Unterseite, Oberseite, Zylinderfläche dazwischen) minimiert werden. Diese ergibt sich wiederum aus $d$ und $h$ über den Umfang $U$ zu:

$$U = d \times \pi$$ (5.3)

$$A_{\mbox{\scriptsize Zyl}} = 2 \frac{d^{2} \cdot \pi}{4} + U \cdot h$$ (5.4)

Ziel der Optimierung ist es, die Gleichung 5.4 zu minimieren.

Um formal eine zu maximierende Zielfunktion zu bekommen, negieren wir die Gleichung 5.4 und erhalten folgende Form der Zielfunktion ($U$ sowie $h=\frac{4V_{\mbox{\scriptsize Zyl}}}{d^2\pi}$ eingesetzt):

$$Z( d ) = -( \frac{1}{2} d^2 \pi + \frac{4 V_{\mbox{\scriptsize Zyl}}}{d} )$$ (5.5)

(In dieser Funktion hat $d$ die höchste Potenz 2 mit einem negativen Vorfaktor, es existiert also garantiert ein Maximum.)

5.4.1.1 Geschlossene Lösung

Um das Maximum zu finden, benötigt man die Nullstelle(n) der ersten Ableitung von 5.5:

$$\frac{Z(d)}{\mbox{d}d} = - ( \frac{1}{2} 2 d \pi + (-1)\frac{4 V_{\mbox{\scriptsize Zyl}}}{d^2} ) \stackrel{!}{=} 0$$ (5.6)

Setzt man 5.1 ein, so erhält man:

$$-( d \pi + (-1)\frac{4 }{d^2}\frac{d^2\pi}{4}h )\stackrel{!}{=} 0$$ (5.7)

und damit das Ergebnis:

$$d \stackrel{!}{=} h$$ (5.8)

Erwartungsgemäß ist das Verhältnis $d/h$ für den optimalen Fall unabhängig vom geforderten Volumen; deshalb haben kleine Dosen das selbe Verhältnis $d/h$ wie große.

Mit Gleichung 5.8 kann man Gleichung 5.1 nach $d$ auflösen:

$$d = \sqrt[3]{\frac{4 V_{\mbox{\scriptsize Zyl}}}{\pi} }$$ (5.9)

Setzt man in Grundeinheiten (gem. SI) $V_{\mbox{\scriptsize Zyl}}=840\times 10^{-6}\mbox{m}^3$ ein, so ergibt sich ein optimaler Durchmesser von $0.1026694 \mbox{m}$ oder etwa $10.3 \mbox{cm}$, was auch gut einer üblichen $850\mbox{ml}$-Dose entspricht.

Abbildung: Fläche einer Dose über d/h